Question

設(shè)函數(shù)
(Ⅰ) 當(dāng)時，求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性.
（Ⅲ）若對任意及任意，恒有 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ) 無極大值.
（Ⅱ）當(dāng)時，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（Ⅲ） 

試題分析：(Ⅰ)函數(shù)的定義域為.  
當(dāng)時，2分
當(dāng)時，當(dāng)時， 無極大值. 4分
（Ⅱ） 
5分
當(dāng)，即時， 在定義域上是減函數(shù)；
當(dāng)，即時，令得或
令得當(dāng)，即時，令得或
令得      綜上，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；
當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，在上單減，是最大值， 是最小值.
  10分

而經(jīng)整理得，由得，所以12分
點(diǎn)評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。涉及不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成了研究函數(shù)的最值之間的差，從而利用“分離參數(shù)法”又轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。