Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若直線與曲線的交點的橫坐標(biāo)為，且，求整數(shù)所有可能的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的值分下、負(fù)、0進(jìn)行討論，可得的正負(fù)，從而得單調(diào)性；

（2）即方程的解，由于，方程變形為，這樣只要研究函數(shù)的零點可能在哪個區(qū)間即可，由導(dǎo)數(shù)知是和上的單調(diào)增函數(shù)，計算可得結(jié)論．

試題解析：

（1）解： ，∴，

①若時， 在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②若時，當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減；

③若時，當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增．

綜上，若時， 在上單調(diào)遞增；

若時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

（2）由題可知，原命題等價于方程在上有解，

由于，所以不是方程的解，

所以原方程等價于，令，

因為對于恒成立，

所以在和內(nèi)單調(diào)遞增．

又，

所以直線與曲線的交點有兩個，

且兩交點的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間和內(nèi)，

所以整數(shù)的所有值為-3，1．