Question

如圖，、、…、（）是曲線： （）上的個點，點（）在軸的正半軸上，且是正三角形（是坐標原點）．

（Ⅰ）寫出、、；

（Ⅱ）求出點（）的橫坐標關于的表達式；

（Ⅲ）設，若對任意的正整數，當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ），，；

（Ⅱ）依題意，得，，由此及得

              ，

       即．

       由（Ⅰ）可猜想：（）．

       下面用數學歸納法予以證明：

       （1）當時，命題顯然成立；

       （2）假定當時命題成立，即有，則當時，由歸納假設及

             

       得，即

              ，

       解之得（不合題意，舍去），

       即當時，命題成立．

       由（1）、（2）知：命題成立．

   （Ⅲ）

                                                              

．

令（），則，

所以在上是增函數，

故當時，取得最小值，即當時，．

              （，）

       ，即（）

       ．

       解之得，實數的取值范圍為．