Question

（理）已知函數(shù)f(x)=x-

1

2

ax2-ln(1+x)，其中a∈R．
（Ⅰ）若x=2是f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，  x∈(-1，+∞)．令f'（2）=0，能求出a的值．
（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x

x+1

．故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，列表討論f（x）與f'（x）的情況能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（0）=0，知不合題意．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，由f(

1

a

-1)＞f(0)=0，知不合題意．當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合題意．由此能求出f（x）在[0，+∞）上的最大值是0時(shí)，a的取值范圍是[1，+∞）．

解答：（理）（本小題滿分12分）
（Ⅰ）解：f′(x)=

x(1-a-ax)

x+1

，  x∈(-1，+∞)．
依題意，令f'（2）=0，解得 a=

1

3

．
經(jīng)檢驗(yàn)，a=

1

3

時(shí)，符合題意．…（4分）
（Ⅱ）解：①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

x

x+1

．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x₁=0，或x2=

1

a

-1．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x1）	↗	f（x2）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(0，

1

a

-1)；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-1，+∞）．
當(dāng)a＞1時(shí)，-1＜x₂＜0，f（x）與f'（x）的情況如下：

x	（-1，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	f（x2）	↗	f（x1）	↘

所以，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是(

1

a

-1，0)；單調(diào)減區(qū)間是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-1，0）．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間是（0，+∞），減區(qū)間是（-1，0）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是(0，

1

a

-1)，減區(qū)間是（-1，0）和(

1

a

-1，+∞)；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的減區(qū)間是（-1，+∞）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間是(

1

a

-1，0)；減區(qū)間是(-1，

1

a

-1)和（0，+∞）．
…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（0）=0，知不合題意．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）的最大值是f(

1

a

-1)，
由f(

1

a

-1)＞f(0)=0，知不合題意．
當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
可得f（x）在[0，+∞）上的最大值是f（0）=0，符合題意．
所以，f（x）在[0，+∞）上的最大值是0時(shí)，a的取值范圍是[1，+∞）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．