Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）≤0，則|$\overrightarrow{c}$|的最小值為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為$\frac{π}{3}$，從而可設(shè)$\overrightarrow{a}=（2，0），\overrightarrow=（1，\sqrt{3}），\overrightarrow{c}=（x，y）$，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可得到${x}^{2}-3x+2+{y}^{2}-\sqrt{3}y≤0$，從而得出$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）≤1$．這便說(shuō)明點(diǎn)（x，y）在以（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，1為半徑的圓上及圓內(nèi)的點(diǎn)，畫(huà)出圖形，根據(jù)圖形便可求出點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的最小距離，從而得出$|\overrightarrow{c}|$的最小值．

解答 解：根據(jù)條件$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$，∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=\frac{π}{3}$；
∴設(shè)$\overrightarrow{a}=（2，0），\overrightarrow=（1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{c}=（x，y）$，則：
$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（2-x，-y），\overrightarrow-\overrightarrow{c}=（1-x，\sqrt{3}-y）$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）={x}^{2}-3x+2+{y}^{2}-\sqrt{3}y≤0$；
∴$（x-\frac{3}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}≤1$；
∴（x，y）表示以$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$為圓心1為半徑的圓上及圓內(nèi)部；
$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$表示點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離，如圖所示：

連接圓心和原點(diǎn)O，與圓的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最��；
∴$|\overrightarrow{c}|$的最小值為$\sqrt{3}-1$．
故答案為：$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 考查利用向量坐標(biāo)解決向量問(wèn)題的方法，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，向量夾角的概念，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，表示圓上及圓內(nèi)部點(diǎn)的不等式，以及數(shù)形結(jié)合解題的方法．