Question

（2006•嘉定區(qū)二模）用S_m→n表示數列{a_n}從第m項到第n項（共n-m+1項）之和．
（1）在遞增數列{a_n}中，a_n與a_n+1是關于x的方程x²-4nx+4n²-1=0（n為正整數）的兩個根．求{a_n}的通項公式并證明{a_n}是等差數列；
（2）對（1）中的數列{a_n}，判斷數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的類型；
（3）對一般的首項為a₁，公差為d的等差數列，提出與（2）類似的問題，你可以得到怎樣的結論，證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1，利用{a_n}是遞增數列，可得a_n+1-a_n=2，從而可{a_n}的通項公式并證明{a_n}是等差數列；
（2）在理解S_m→n的含義的基礎上，可求得S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常數），從而可判斷數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k的類型（是等差數列）；
（3）“對于任意給定的正整數m，判斷數列S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}成等差數列”，再證明即可．

解答：解：（1）解方程x²-4nx+4n²-1=0得x₁=2n-1，x₂=2n+1…（1分）
∵{a_n}是遞增數列，
∴a_n=2n-1，a_n+1=2n+1，a_n+1-a_n=2…（3分）
∴數列{a_n}是等差數列，其通項公式是a_n=2n-1（n為正整數）…（4分）
（2）當k為正整數時，S_3k-2→3k=a_3k-2+a_3k-1+a_3k=18k-9
S_{3（k+1）-2→3（k+1）}=18（k+1）-9=18k+9，
∴S_{3（k+1）-2→3（k+1）}-S_3k-2→3k=18（常數）
∴數列S_1→3，S_4→6，S_7→9，…，S_3k-2→3k是等差數列…（9分）
（3）對一般的以a₁為首項，d為公差的等差數列，“對于任意給定的正整數m，數列S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}成等差數列”，（13分），
證明：∵S_{km+1→（k+1）m}-S_{（k-1）m+1→km}成=（a_km+1+a_km+2+…+a_km+m）-（a_（k-1）m+1+a_（k-1）m+2+…+a_（k-1）m+m）
=[（a_km+1-a_（k-1）m+1）+（a_km+2-a_（k-1）m+2）+…+（a_km+m-a_（k-1）m+m）]
=

md+md+…+md

m項

=m²d（定值）．
∴數列S_1→m，S_m+1→2m，…，S_{（k-1）m+1→km}成等差數列…（16分）

點評：本題考查等差關系的確定，考查等差數列的性質，考查抽象思維與邏輯思維及綜合運算能力，考查推理與證明的能力，屬于難題．