Question

在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

答案：直角三角形．
解析：

解法1：由余弦定理，得a·，所以a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝c2(a2＋b2－c2)，即2a2b2－a4－b4＝－c4，所以c4＝(a2－b2)2．從而(a2－b2＋c2)(a2－b2－c2)＝0，所以a2＋c2＝b2或b2＋c2＝a2．所以△ABC是直角三角形． 　　解法2：由正弦定理，得2RsinAcosA＋2R·sinBosB＝2RsinsC，所以sin2A＋sin2B＝sin2C，所以sin2A＋sin2B＝－sin(2A＋2B)，即2sin(A＋B)cos(A－B)＝－2sin(A＋B)cos(A＋B)，因為sin(A＋B)≠0，所以cos(A－B)＝－cos(A＋B)，即cosA·cosB＝0，故有A＝或B＝，所以△ABC為直角三角形．

提示：

三角形形狀的判定常常通過正弦定理或余弦定理，將已知條件轉化為純邊的關系或純角的關系，尋找邊之間的關系或角之間的關系來判定．