Question

（2012•自貢三模）已知數(shù)列{a_n} 中a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1） 在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，n∈N^*．?dāng)?shù)列 {b_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列；
（2）求S_n；
（3）設(shè)T_n=（1+a₁）（1+a₂）+…+（1+a_n），c_n=

2Sn

2n+1

，求

lim

n→∞

[

Tn

32n+1

•

n

k=1

ck]的值．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)（a_n，a_n+1） 在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，得到關(guān)系式，通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算，推出數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列．
（2）利用數(shù)列 {b_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=bn（S_n-

1

2

），推出{

1

Sn

}為等差數(shù)列，然后求出S_n；
（3）利用（1）求出a_n，T_n，C_n，化簡(jiǎn)

Tn

32n+1

•

n

k=1

ck，然后求出表達(dá)式的極限．

解答：解：（1）由已知可得a_n+1=a_n²+2a_n，
∴a_n+1+1=（a_n+1）²
∵a₁=2，∴a_n+1＞1，兩邊取對(duì)數(shù)得lg（1+a_n+1）=2lg（1+a_n），
即

lg(1+an+1)

lg(1+an)

=2
∴數(shù)列{lg（1+a_n）}是公比為2的等比數(shù)列．
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）=（S_n-S_n-1）（S_n-

1

2

）
展開(kāi)整理得：S_n-S_n-1=2S_nS_n-1，若S_n=0，則有b_n=0，則S₂=1+b₂≠0，矛盾，所以S_n≠0，
所以在等式兩側(cè)同除以S_nS_n-1得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2，
∴{

1

Sn

}為等差數(shù)列
∴

1

Sn

=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

．
（3）由（1）知lg（1+a_n）=2^n-1•lg（1+a₁）=2^n-1•lg3=lg32n-1．
∴1+a_n=32n-1．
∴T_n=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）=320•321•322…32n-1=31+2+22+…+2n-1=32n-1．
c_n=

2Sn

2n+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

．
∴

Tn

32n+1

•

n

k=1

ck=

32n-1

32n+1

•(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1 3

1+ 1 32n

•(1-

1

2n+1

)
∴

lim

n→∞

[

Tn

32n+1

•

n

k=1

ck]=

lim

n→∞

 [

1 3

1+ 1 32n

•(1-

1

2n+1

)]=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的判定，通項(xiàng)公式的求法，前n項(xiàng)和的求法，數(shù)列的極限的求法，考查計(jì)算能力．