Question

∫

b a

(a-x)(x-b)

dx（b＞a）=

π(b-a)2

8

．

Answer 1

分析：欲求定積分的值，根據(jù)定積分的意義是求曲線與x軸圍成的封閉圖形的面積，設出曲線的解析式，化簡得到此曲線為一個半圓，則求出半圓的面積即為定積分的值．

解答：解：可設y=

(a-x)(x-b)

（y＞0），
兩邊平方得：y²=-x²+（a+b）x-ab，
化簡得（x-

a+b

2

）2+y²=（

b-a

2

）2且b＞a，
則y所表示的曲線是圓心為（

a+b

2

，0），半徑為

b-a

2

的上半圓，
故所求的定積分=半圓的面積=

π

2

•（

b-a

2

）2=

π(b-a)2

8

．
故答案為：

π(b-a)2

8

．

點評：本題主要考查了學生對定積分意義的理解，會把求定積分的問題轉化為求曲線圍成的面積問題．這是一道非常好的題型．