Question

（本小題滿分12分）某公司研發(fā)甲、乙兩種新產品，根據(jù)市場調查預測，甲產品的利潤y（單位：萬元）與投資（單位：萬元）滿足：（為常數(shù)），且曲線與直線在（1，3）點相切；乙產品的利潤與投資的算術平方根成正比，且其圖像經過點（4，4）.

（1）分別求甲、乙兩種產品的利潤與投資資金間的函數(shù)關系式；

（2）已知該公司已籌集到40萬元資金，并將全部投入甲、乙兩種產品的研發(fā)，每種產品投資均不少于10萬元.問怎樣分配這40萬元投資，才能使該公司獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

（1）甲：；乙：；

（2）當甲產品投資15萬元，乙產品投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為21.124萬元

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)f(x)的定義域為，且，

∵點(1,3)在直線y=kx上，故有k=3 2分

又曲線y=f(x)與直線y=3x在點(1,3)處相切，

故有，

∴甲產品的利潤與投資資金間的函數(shù)關系式為 4分

由題意得乙產品投資與利潤的關系式為

將點(4,4)代入（*）式，可得m=2

所以乙產品的利潤與投資資金間的函數(shù)關系式 6分

（2）設甲產品投資x萬元，則乙產品投資（40-x）萬元，且，則該公司所得利潤為

8分

故有，

令，解得，

令，解得，

所以x=15為函數(shù)的極大值點，也是函數(shù)的最大值點 10分

所以（萬元） 11分

所以當甲產品投資15萬元，乙產品投資25萬元時，公司取得最大利潤，最大利潤為21.124萬元 12分

考點：此題考查函數(shù)在實際中的應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導數(shù)研究曲線的切線方程