Question

在△ABC中，O是其外接圓的圓心，其兩邊中線的交點(diǎn)是G，兩條高線的交點(diǎn)是H，給出下列結(jié)論或命題：
（1）動點(diǎn)P滿足

AP

=λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

）（λ≠0），則動點(diǎn)P的軌跡一定過點(diǎn)H；
（2）動點(diǎn)P在△ABC所在平面內(nèi)，則點(diǎn)G與P重合時(shí)，使PA²+PB²+PC²的值最小；
（3）動點(diǎn)P滿足

AP

=λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）（λ≠0），則點(diǎn)P的軌跡一定過點(diǎn)O；
（4）GH=2OG．
其中正確結(jié)論或命題的序號是

 

．（填上所有正確結(jié)論或命題的序號）

Answer 1

考點(diǎn)：向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用重心的性質(zhì)及向量加減法的幾何意義，對四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷．

解答： 解：①中，動點(diǎn)P滿足

AP

=λ（

AB

| AB |

+

AC

| AC |

），
∴AP平分∠BAC，
∴P點(diǎn)在∠BAC的角平分線上，不一定過點(diǎn)H，故①錯誤．
②中，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且使得

AP

2+

BP

2+

CP

2取得最小值，
根據(jù)重心的性質(zhì)，可得②正確；
③中，

AP

•

BC

=λ（

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

）•

BC

=λ（-|

BC

|+|

BC

|）
=0
∴

AP

⊥

BC

∴點(diǎn)P一定在高線上，不一定過點(diǎn)O．故③錯．
④在三角形ABC的外接圓中，過點(diǎn)C作直徑CM，連MA，MB，則有MB平行且等于2OF，
因?yàn)镸B⊥BC，AD⊥BC，MA⊥AC，BE⊥AC，所以四邊形AMBH是平行四邊形，
因此AH=MB=2OF，連接OH交AF于G，三角形OFG與三角形HAG相似，可證G就是重心，所以GH=2OG．故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角形的重心，垂心，外心的性質(zhì)，以及向量加減法的幾何意義，屬于難題．