Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d∈Z），前n項的和為S_n，且a₃=20，185＜S₇＜195．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）記b_n=

1

anan+1

，{b_n}的前n項的和為T_n，求證：T_n＜

1

42

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質

專題：計算題

分析：（1）①化簡185＜S₇＜195⇒②由a₄的范圍求d．⇒③求a_n．
（2）①化簡b_n⇒②求T_n，⇒③確定大小關系．

解答： 解：（1）∵185＜S₇＜195，
∴185＜7a₄＜195，
即26

3

7

＜a4＜27

6

7

，
即26

3

7

＜20+d＜27

6

7

，又由d∈Z知，
d=7．
所以a_n=20+（n-3）7=7n-1．
（2）b_n=

1

(7n-1)(7n+6)

=

1

7

(

1

7n-1

-

1

7n+6

)，
T_n=

1

7

(

1

6

-

1

13

)+

1

7

(

1

13

-

1

20

)+…

1

7

(

1

7n-1

-

1

7n+6

)
=

1

7

(

1

6

-

1

13

+

1

13

-

1

20

+…+

1

7n-1

-

1

7n+6

)
=

1

7

(

1

6

-

1

7n+6

)
=

n

42n+36

＜

n

42n

=

1

42

．
所以Tn＜

1

42

．

點評：（1）考查了學生對等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的記憶與理解．（2）考查了學生應用裂項求和法求數(shù)列前N項和的能力及放縮法證明不等式的能力．