Question

若點A（1，2）是拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點，經(jīng)過點B（5，-2）的直線l與拋物線C交于P，Q兩點．
（Ⅰ）求證：

PA

•

QA

為定值；
（Ⅱ）若△APQ的面積為16

2

，求直線l的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先求出拋物線的方程，再分類討論，利用數(shù)量積公式，結(jié)合韋達定理，即可證明

PA

•

QA

為定值；
（Ⅱ）分類討論，利用△APQ的面積為16

2

，建立方程，即可求直線l的斜率．

解答： （I）證明：因為點A（1，2）在拋物線C：y²=2px（p＞0）上，
所以4=2p，有p=2，那么拋物線C：y²=4x---------------------------------------（2分）
若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，此時P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)

PA

•

QA

=(-4，2-2

5

)•(-4，2+2

5

)=0---------------------------------------------（3分）
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：y=k（x-5）-2，（k≠0），點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x-5)-2

，有ky2-4y-4(5k+2)=0⇒

y1+y2= 4 k ，y1y2=- 20k+8 k △=16+16k(5k+2)＞0

，
∴

PA

•

QA

=（1-x₁，2-y₁）•（1-x₂，2-y₂）=1-

(y1+y2)2-2y1y2

4

+

y12y22

16

+4-2（y₁+y₂）+y₁y₂=0
∴

PA

•

QA

為定值．--------------------------------------------------------------（7分）
（ II）解：若直線l的斜率不存在，直線l：x=5，此時P(5，2

5

)，Q(5，-2

5

)，A(1，2)∴S△APQ=

1

2

×4

5

×4=8

5

≠16

2

若直線l的斜率存在時，|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

1+ 1 k2

•

80k2+32k+16 k2

-------------------（9分）
點A（1，2）到直線l：y=k（x-5）-2的距離h=

4|k+1|

1+k2

------------------------------（10分）S△APQ=

1

2

•|PQ|•h=8

(5k2+2k+1)(k+1)2 k4

，--------------------------------------（11分）
滿足：8

(5k2+2k+1)(k+1)2 k4

=16

2

有k=

1

2 3 -2 -1

或k=

1

- 2 3 -2 -1

---------------------------------------------（12分）

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．