Question

14．我國(guó)的《洛書(shū)》中記載著世界上最古老的幻方：將1，2，…，9填入方格內(nèi)，使三行、三列，兩條對(duì)角線(xiàn)的三個(gè)數(shù)之和都等于15，如圖所示．
一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1，2，…，n²填入n×n個(gè)方格中，使得每行，每列、每條對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做n階幻方．記n階幻方的對(duì)角線(xiàn)上數(shù)的和為N_n，例如N₃=15，N₄=34，N₅=65…那么N_n=$\frac{n（{n}^{2}+1）}{2}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出N_n=$\frac{1}{n}$（1+2+3+4+5+…+n²），由此利用等差數(shù)列求和公式能求出結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意可知，幻方對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)成等差數(shù)列，
N₃=$\frac{1}{3}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9）=15，
N₄=$\frac{1}{4}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16）=34，
N₅=$\frac{1}{5}$（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25）=65，
…
∴N_n=$\frac{1}{n}$（1+2+3+4+5+…+n²）=$\frac{1}{n}×\frac{{n}^{2}（1+{n}^{2}）}{2}$=$\frac{n（{n}^{2}+1）}{2}$．
故答案為：$\frac{n（{n}^{2}+1）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，本題解題的關(guān)鍵是應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)來(lái)解題．