Question

（浙江卷理18）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。

（Ⅰ）求證：AE//平面DCF；

（Ⅱ）當(dāng)AB的長為何值時,二面角A-EF-C的大小為？

Answer 1

本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力．

方法一：（Ⅰ）證明：過點(diǎn)作交于，連結(jié)，

可得四邊形為矩形，又為矩形，

所以，從而四邊形為平行四邊形，

故．因?yàn)?sub>平面，平面，

所以平面．

（Ⅱ）解：過點(diǎn)作交的延長線于，連結(jié)．

由平面平面，，得平面，

從而．所以為二面角的平面角．

在中，因?yàn)?sub>，，所以，．

又因?yàn)?sub>，所以，

從而．

于是．

因?yàn)?sub>，

所以當(dāng)為時，二面角的大小為．

方法二：如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以和分別作為軸，軸和軸，

建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，

則，，，，．

（Ⅰ）證明：，，，

所以，，從而，，

所以平面．因?yàn)?sub>平面，所以平面平面．

故平面．

（Ⅱ）解：因?yàn)?sub>，，

所以，，從而

解得．所以，．

設(shè)與平面垂直，則，，

解得．又因?yàn)?sub>平面，，

所以，得到．

所以當(dāng)為時，二面角的大小為．