Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=x³+x²+1，則f（x）=

x3+x2+1    x＞0 0                x=0 x3-x2-1      x＜0

．

Answer 1

分析：題目給出了x＞0時的解析式，要求函數(shù)在整個定義域上的解析式，我們可設x＜0，變形得到-x＞0，則-x適合已知的解析式，結合函數(shù)的奇偶性可求得x＜0時的函數(shù)解析式，然后運用奇函數(shù)的定義可求得f（0）=0，則函數(shù)在整個定義域上的解析式可求．

解答：解：設x＜0，則-x＞0，則f（-x）=（-x）³+（-x）²+1=-x³+x²+1，
因為f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），則-f（x）=-x³+x²+1，所以，f（x）=x³-x²-1
又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以f（0）=f（-0）=-f（0），所以f（0）=0，
綜上，f(x)=

x3+x2+1  x＞0 0                    x=0 x3-x2-1    x＜0

，
故答案為

x3+x2+1  x＞0 0                   x=0 x3-x2-1  x＜0

．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，分段函數(shù)的解析式要分段去求，求解函數(shù)在某個區(qū)間內的解析式，可先在求解的區(qū)間內設出變量x，然后通過變形把變量轉化到已知解析式的區(qū)間內，再運用函數(shù)的奇偶性和周期性進行求解，此題屬中檔題．