Question

如圖，四棱錐,底面為直角梯形，,,

,是等腰直角三角形，是中點，

．

（Ⅰ）證明：平面;

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

                                                                 

                                                                      

Answer 1

證明：

                                                             

（Ⅰ）取中點，連接�！�，中點，

∴。∵是等腰直角三角形，是中點，

∴，∥。∵,,∴，…………4分

，平面，平面，

∴平面。平面，∴。

∵平面，平面，和相交，

∴平面。                                        ……………6分

 

（Ⅱ）解法一：連接，由勾股定理可知。

建立如圖所示的空間直角坐標系，設=2，

則點，，，，

………………8分

設平面的法向量，平面的法向量。

。

所以平面的一個法向量為。

所以平面的一個法向量為                   ………………10分

所以                  ………………12分

 

解法二：延長交于，由(1)知平面,

過作，交于,可得平面.

令，可求連接,過作

交于，可得平面,因為所以

過作,交于，連接,可求

所以為所求二面角的平面角，                          …………………9分

所以所以               ………………12分