Question

16．某市在2015屆青少年科技創(chuàng)新大賽中評出一等獎作品9個，其中社會科學類3個，自然科學類6個，這9個一等獎中，市-中奪得3個，市五中奪得2個，其余4個被四所不同的農村中學奪得．現(xiàn)從這9個一等獎作品中隨機選取4個參加省級青少年科技創(chuàng)新大賽（每個作品披選到的可能性相同）
（I）求選出的4個作品來自互不相同的學校的概率；
（2）設選出的4個作品中，自然科學類的有x個．社會科學類的有y個，若X=x-y，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{9}^{4}$=126，再求出選出的4個作品來自互不相同的學校，包含的基本事件個數(shù)，由此能求出選出的4個作品來自互不相同的學校的概率．
（2）設選出的4個作品中，自然科學類的有x個．社會科學類的有y個，X=x-y，則X的中能取值為-2，0，2，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）現(xiàn)從這9個一等獎作品中隨機選取4個參加省級青少年科技創(chuàng)新大賽（每個作品披選到的可能性相同），
基本事件總數(shù)n=${C}_{9}^{4}$=126，
選出的4個作品來自互不相同的學校，包含的基本事件個數(shù)：${C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}$=36，
∴選出的4個作品來自互不相同的學校的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{36}{126}$=$\frac{2}{7}$．
（2）設選出的4個作品中，自然科學類的有x個．社會科學類的有y個，X=x-y，
則X的中能取值為-2，0，2，4，
P（X=-2）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{6}{126}$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{3×15}{126}$=$\frac{45}{126}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{3×20}{126}$=$\frac{60}{126}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{9}^{4}}$=$\frac{15}{126}$，
∴X的分布列為：

X	-2	0	2	4
P	$\frac{6}{126}$	$\frac{45}{126}$	$\frac{60}{126}$	$\frac{15}{126}$

EX=$-2×\frac{6}{126}+0×\frac{45}{126}+2×\frac{60}{126}+4×\frac{15}{126}$=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．