Question

已知函數(shù).

（1）證明f（x）是奇函數(shù)；并求f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）分別計算f（4）－5f（2）g（2）和f（9）－5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函數(shù)f（x）和g（x）的對所有不等于零的實(shí)數(shù)x都成立的一個等式，并加以證明.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域（－∞，0）∪（0，+∞）關(guān)于原點(diǎn)對稱，又f（－x）=. ∴f（x）是奇函數(shù). 設(shè)x1<x2，x1，x2∈（0，+∞），f（x1）－f（x2）= . ∵， ∴f（x1）－f（x2）<0.∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.又f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）在（－∞，0）上也是單調(diào)遞增.∴f（x）的單調(diào)區(qū)間為（－∞，0）和（0，+∞）. （2）算得f（4）－5f（2）·g（2）=0，f（9）－5f（3）·g（3）=0.由此概括出對所有不等于零的實(shí)數(shù)x有：f（x2）－5f（x）·g（x）=0.因?yàn)椋?i>f（x2）－5f（x）·g（x）=.