Question

【題目】橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得可為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由？

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)，以及離心率，結(jié)合關(guān)系，可得結(jié)果.

（2）假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)以及直線方程，可得坐標(biāo)，然后聯(lián)立與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，計(jì)算，通過觀察，可得結(jié)果.

（1）由知； ①

由題知 ②

又 ③，

由①②③得：，.

∴橢圓的方程為：.

（2）①當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，

設(shè)，，，

直線的方程為，

由得，

∴.

∴

又，

所以化簡(jiǎn)可得

.

令，得.

故此時(shí)點(diǎn)，.

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，

可.

綜上所述：

在軸上存在定點(diǎn)，

使得為定值.