Question

已知f(x)是二次函數(shù)，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在區(qū)間［-1,4］上的最大值是12.

（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在實數(shù)m,使得方程f(x)+=0在區(qū)間(m,m+1)內有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

解:（1）∵f(x)是二次函數(shù)，且f(x)＜0的解集是(0,5),

∴可設f(x)=ax(x-5)(a＞0),

∴f(x)在區(qū)間［-1,4］上的最大值是f(-1)=6a.

由已知，得6a=12,

∴a=2,

∴f(x)=2x(x-5)=2x²-10x(x∈R).

（2）方程f(x)+ =0等價于方程2x³-10x²+37=0.設h(x)=2x³-10x²+37,

則h′(x)=6x²-20x=2x(3x-10).

當x∈(0,)時，h′(x)＜0,h(x)是減函數(shù)；

當x∈(,+∞)時，h′(x)＞0,h(x)是增函數(shù).

∴h(3)=1＞0,h()=-＜0,h(4)=5＞0,

∴ 方程h(x)=0在區(qū)間(3, ),(4)內分別有唯一實數(shù)根，而在區(qū)間(0,3),(4,+∞)內沒有實數(shù)根，

所以存在唯一的自然數(shù)m=3,使得方程f(x)+ =0在區(qū)間(m,m+1)內有且只有兩個不同的實數(shù)根.