Question

【題目】已知函數(shù) ， .
（1）若函數(shù) 在 上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）是否存在整數(shù) ，使得 的解集恰好是 ，若存在，求出 的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：令 ，則 .
當(dāng) ，即 時(shí)， 恒成立，
所以 .
因?yàn)? 在 上是減函數(shù)，
所以 ，解得 ，
所以 .
由 ，解得 或 .
當(dāng) 時(shí)， 的圖象對(duì)稱(chēng)軸 ，
且方程 的兩根均為正，
此時(shí) 在 為減函數(shù)，所以 符合條件.
當(dāng) 時(shí)， 的圖象對(duì)稱(chēng)軸 ，
且方程 的根為一正一負(fù)，
要使 在 單調(diào)遞減，則 ，解得 .
綜上可知，實(shí)數(shù) 的取值范圍為
（2）解：假設(shè)存在整數(shù) ，使 的解集恰好是 ，則
①若函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，則 ， 且 ，
即
作差得到 ，代回得到： ，即 ，由于 均為整數(shù)，
故 ， ， 或 ， ， ，經(jīng)檢驗(yàn)均不滿足要求；
②若函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，則 ， 且 ，
即
作差得到 ，代回得到： ，即 ，由于 均為整數(shù)，
故 ， ， 或 ， ， ，經(jīng)檢驗(yàn)均不滿足要求；
③若函數(shù) 在 上不單調(diào)，則 ， 且 ，
即 作差得到 ，代回得到： ，即 ，由于 均為整數(shù)，
故 ， ， 或 ， ， ，，經(jīng)檢驗(yàn)均滿足要求；
綜上：符合要求的整數(shù) 、 是 或
【解析】(1)首先求出對(duì)稱(chēng)軸根據(jù)題意分情況討論區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且f(0)不小于0以及區(qū)間在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且f(0)不大于0，分別解出兩種情況下的m的取值范圍即可。(2)根據(jù)題意假設(shè)存在整數(shù)a、b使得 a ≤ f ( x ) ≤ b 的解集恰好是 [ a , b ] ，則 f ( a ) = a ， f ( b ) = b，代入數(shù)值求出a、b的值再代入到不等式檢驗(yàn)即可。