Question

【題目】已知：函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性；

（3）若函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且．設(shè)，其中常數(shù)、滿足條件，且．試判斷在點(diǎn)處的切線斜率的正負(fù)，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)極小值1，無(wú)極大值(2) 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)減；當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)減，在上單調(diào)增（3）在點(diǎn)處的切線斜率為正.

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)變化得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的極值；（2）求導(dǎo)，討論二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)、判別式的符號(hào)及兩根大小進(jìn)行求解；（3）先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷的符號(hào)，合理構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行證明.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ∴，令，則，列表得：

		1
		0
	單調(diào)減	極小值	單調(diào)增

∴有極小值，無(wú)極大值；

（2）， ∴，設(shè)

①當(dāng)時(shí)， 恒成立，即恒成立，∴ 在上單調(diào)減；

②當(dāng)且，即時(shí)， 恒成立，且不恒為0，則恒成立，且不恒為0，∴在上單調(diào)減；

③當(dāng)且，即時(shí)，

有兩個(gè)實(shí)數(shù)根： ，且

∴ ∴當(dāng)或時(shí)， ， ；當(dāng)時(shí)， ， ；

∴在和上單調(diào)減，在上單調(diào)增．

∴綜上：當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)減；當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)減，在上單調(diào)增.

（3）， ，問(wèn)題即為判斷的符號(hào)．

∵函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且

∴ 兩式相減得：

∴

∴

)

∵且 ∴ ∵ ∴

研究： 的符號(hào)，即判斷的符號(hào)．

令， ，設(shè)

∴

方法（一）設(shè)，其對(duì)稱軸為：

∴在上單調(diào)減，則，即在上恒成立 ∴在上單調(diào)增 ∴，即

∵ ∴

∴，即

∴在點(diǎn)處的切線斜率為正．

方法（二）

∵， ∴ ∴在上恒成立

∴在上單調(diào)增 ∴，即

∵ ∴

∴，即

∴在點(diǎn)處的切線斜率為正．