Question

如圖，三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，且平面，為中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求二面角的大小的余弦值；

（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）欲證AB₁⊥平面A₁BD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AB₁與平面A₁BD內(nèi)兩相交直線垂直，而AB₁⊥A₁B，AB₁⊥DO，A₁B∩DO=O，滿足定理所需條件．

（2）

（3）

【解析】

試題分析：解析： （Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

平面，平面

平面平面，平面．  1分

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071611565788468107/SYS201307161157379504878005_DA.files/image020.png">軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

，，

，，．

平面． 4分

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

取為平面的一個(gè)法向量．

由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．

，．

二面角的余弦值為．  9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．

點(diǎn)到平面的距離．  13分

考點(diǎn)：空間中角和距離的求解

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用向量法來求解空間中的角和距離的求解，屬于中檔題。