Question

【題目】已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足：①對(duì)任意，都有；②當(dāng)時(shí)，，

（1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；

（2）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若對(duì)任意，關(guān)于的不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

(1)由①求函數(shù)周期T=2，然后由函數(shù)周期性和遞推關(guān)系式求出的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)方程的實(shí)數(shù)解為，利用(1)的結(jié)論解方程和不等式或即可求出參數(shù)的取值范圍；

(3)先求函數(shù)的最小值，再由函數(shù)的周期性可得在上恒有，然后求得在上的最大值為最后由即可得出答案.

（1）∵對(duì)任意，都有，∴，

即則可得函數(shù)的周期為T=2，

當(dāng)時(shí)，,∴當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)時(shí)，，，

∴時(shí)， ；

（2）設(shè)關(guān)于的方程在上的實(shí)數(shù)解為

則或，∴或

∴或

（3）由(1)得可得在上，又因函數(shù)的周期為T=2，則可得上恒有，

令函數(shù)得在上單調(diào)遞增，則可得，

由題意對(duì)任意，關(guān)于的不等式都成立，

則可得恒有：即解得.