Question

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2。

   （I）求證：C₁D//平面ABB₁A₁；

   （II）求直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值；

   （Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)略

(2)

(3)

【解析】（I）證明：四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，BB₁//CC₁，

又面ABB₁A₁，所以CC₁//平面ABB₁A₁，               …………2分

ABCD是正方形，所以CD//AB，

又CD面ABB₁A₁，AB面ABB₁A₁，所以CD//平面ABB₁A₁，…………3分

所以平面CDD₁C₁//平面ABB₁A₁，

所以C₁D//平面ABB₁A₁                                   …………4分

   （II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD

因為A₁D⊥平面ABCD，

所以A₁D⊥AD，A₁D⊥CD，

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D—xyz，            …………5分

在中，由已知可得

所以，

             …………6分

因為A₁D⊥平面ABCD，

所以A₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁

A₁D⊥B₁D₁。

又B₁D₁⊥A₁C₁，

所以B₁D₁⊥平面A₁C₁D，                                  …………7分

所以平面A₁­C₁D的一個法向量為n=（1，1，0）             …………8分

設與n所成的角為，

則                   

所以直線BD₁與平面A₁C₁D所成角的正弦值為             …………9分

   （III）解：平面A₁C₁A的法向量為 

則  所以  

令可得                            …………11分

則

所以二面角的余弦值為               …………12分