Question

17．設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x+ln$\frac{x}{4}$，記a_n=f（n-5），則數(shù)列{a_n}的前8項(xiàng)和為-2⁴．

Answer 1

分析 通過(guò)f（x）是R上的奇函數(shù)及當(dāng)x＞0時(shí)的表達(dá)式可求出f（x）的表達(dá)式，利用奇函數(shù)的對(duì)稱性可知問(wèn)題即求a₁即f（-4）的值，代入計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x-ln$\frac{-x}{4}$，
又∵f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}+ln\frac{x}{4}，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-（{2}^{-x}+ln\frac{-x}{4}），}&{x＜0}\end{array}\right.$，
∵a_n=f（n-5），f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴a₂+a₈=a₃+a₇=…=a₄+a₆=a₅=0，
∴數(shù)列{a_n}的前8項(xiàng)和為a₁=f（-4）=-（2⁴+ln1）=-2⁴，
故答案為：-2⁴．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道關(guān)于數(shù)列與函數(shù)的綜合題，涉及奇函數(shù)、數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識(shí)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．