Question

14．某工廠要制造A種電子裝置45臺、B種電子裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼．已知薄鋼板的面積有兩種規(guī)格：甲種薄鋼板每張面積2m²，可做A、B的外殼分別為3個和5個，乙種薄鋼板每張面積3m²，可做A、B的外殼均為6個．設(shè)工廠用x張甲種薄鋼板，y張乙種薄鋼板．
（Ⅰ）用x，y列出滿足條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并在坐標(biāo)系中用陰影表示相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）甲，乙兩種薄鋼板各用多少張才能使用料總面積最小，最小面積是多少？

Answer 1

分析 （I）根據(jù)面積列出約束條件，作出平面區(qū)域；
（II）目標(biāo)函數(shù)為z=2x+3y，即y=-$\frac{2}{3}x$+$\frac{z}{3}$，根據(jù)平面區(qū)域找到最優(yōu)解得位置，解方程組得出最優(yōu)解．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)工廠用x張甲種薄鋼板，y張乙種薄鋼板，
則x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y≥45}\\{5x+6y≥55}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：

（Ⅱ）設(shè)總面積為zm²，則目標(biāo)函數(shù)為：z=2x+3y．
由z=2x+3y得：y=-$\frac{2}{3}x$+$\frac{z}{3}$，
∴由圖可知，當(dāng)直線y=-$\frac{2}{3}x$+$\frac{z}{3}$過點A時，直線的截距最小，即z最小．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y=45}\\{5x+6y=55}\end{array}\right.$ 得A（5，5），
∴z_min=2×5+3×5=25．  
答：甲，乙兩種薄鋼板各用5張才能使用料總面積最小，最小面積是25m²．

點評 本題考查了簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于中檔題．