Question

5．定義在R上的函數f（x），如果對任意的x都有f（x+6）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+1，f（4）=309，則f（2 014）=1314．

Answer 1

分析 根據不等式的關系，利用兩邊夾的思想得到f（x+6）=f（x）+3，然后進行轉化求解即可．

解答 解：根據對任意x恒有f（x+2）≥f（x）+1，得f（x+6）≥f（x+4）+1≥f（x+2）+1+1≥f（x）+1+1+1=f（x）+3，
由此得f（x）+3≤f（x+6）≤f（x）+3，即只能是f（x+6）=f（x）+3．
不難歸納出f（x+6k）=f（x）+3k（k為正整數），
所以f（2 014）=f（6×335+4）=f（4）+3×335=309+1 005=1314．
故答案為：1314．

點評 本題主要考查函數值的計算，根據不等式的關系求出f（x+6）=f（x）+3是解決本題的關鍵．，綜合性較強，難度較大．