Question

10．己知點A，B是函數(shù)y=2|x|（x∈[-1，1]）圖象上的兩個動點，AB∥x軸，點B在y軸的右側(cè)，點M（1，m）（m＞2）是線段BC的中點．
（1）設(shè)點B的橫坐標為a，△ABC的面積為S，求S關(guān)于a的函數(shù)解析式S=f（a）；
（2）若（1）中的f（a）滿足f（a）≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1對所有a∈（0，1]，m∈（4，+∞）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，C三點坐標，計算△的底邊和高，代入面積公式得出S（a）；
（2）求出S（a）的最大值，令S_max（a）≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1恒成立，分離參數(shù)k使用基本不等式解出函數(shù)最值．

解答 解：（1）A（-a，2a），B （a，2a），C（2-a，2m-2a）．
∴S（a）=$\frac{1}{2}$×2a×（2m-2a-2a）=-4a²+2ma．（0＜a≤1）．
（2）S（a）的圖象開口向下，對稱軸為a=$\frac{m}{4}$＞1，∴S（a）在（0，1]上單調(diào)遞增，∴S_max（a）=S（1）=2m-4．
∵f（a）≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1恒成立，∴2m-4≤$\frac{{m}^{2}}{6}$-2mk-1恒成立，即k≤$\frac{m}{12}$+$\frac{3}{2m}$-1恒成立．
∵$\frac{m}{12}$+$\frac{3}{2m}$-1≥2$\sqrt{\frac{1}{8}}$-1=$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，當且僅當$\frac{m}{12}=\frac{3}{2m}$即m=3$\sqrt{2}$時取等號．
∴k≤$\frac{\sqrt{2}}{2}-1$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題．