Question

1．在平面內(nèi)，定點A、B、C、D滿足：|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，動點P、M滿足：|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，則|$\overrightarrow{BM}$|的最大值是$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件可知A，B，C三點共圓，M為PC的中點，于是$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BC}$）．建立平面直角坐標系得出$\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{BP}$的坐標，計算${\overrightarrow{BM}}^{2}$得出模長關(guān)于α的函數(shù)，利用三角函數(shù)的恒等變換得出模長的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，∴A，B，C在以D為圓心的圓D上，
∵$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$$•\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，∴$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DB}，\overrightarrow{DC}$兩兩夾角相等均為120°，∴|DA|=2，
以D為原點建立平面直角坐標系，設(shè)A（2，0），則B（-1，-$\sqrt{3}$），C（-1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BC}$=（0，2$\sqrt{3}$）．
∵|$\overrightarrow{AP}$|=1，∴P在以A為圓心，以1為半徑的圓A上，
∵$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，∴M為PC的中點，∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{BC}$）．
設(shè)P（2+cosα，sinα），則$\overrightarrow{BP}$=（3+cosα，sinα+$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
∴${\overrightarrow{BM}}^{2}$=（$\frac{1}{2}$cosα+$\frac{3}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=$\frac{3}{2}cosα$+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{37}{4}$=3sin（α+$\frac{π}{6}$）+$\frac{37}{4}$，
∴|$\overrightarrow{BM}$|的最大值為$\sqrt{3+\frac{37}{4}}$=$\frac{7}{2}$．
故答案為：$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義，向量的模長計算，屬于中檔題．