Question

（本小題滿分12分）如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE=BF．

（Ⅰ）求證：A1FC1E；

（Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，求二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）詳見 解析；（Ⅱ） ．

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 設(shè)．以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，只要證明 即可．

（Ⅱ） 首先把三棱錐的體積表示成的函數(shù)，確定當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)的 的值． 利用空間向量的數(shù)量積求出平面的法向量為，根據(jù)向量的夾角公式求出它與底面的法向量為的夾角的正切值．

試題解析：【解析】
設(shè)．以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，得下列坐標(biāo)：

，，，，,，,,

,．

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806074939634181/SYS201504080608056939449419_DA/SYS201504080608056939449419_DA.022.png">，，

所以．

所以． （4分）

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806074939634181/SYS201504080608056939449419_DA/SYS201504080608056939449419_DA.026.png">，

所以當(dāng)取得最大值時(shí)，三棱錐的體積取得最大值．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806074939634181/SYS201504080608056939449419_DA/SYS201504080608056939449419_DA.029.png">，

所以當(dāng)時(shí)，即E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐B1-BEF的體積取得最大值，此時(shí)E，F(xiàn)坐標(biāo)分別為,．

設(shè)平面的法向量為，

則得

取，得．顯然底面的法向量為．

設(shè)二面角的平面角為，由題意知為銳角．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015040806074939634181/SYS201504080608056939449419_DA/SYS201504080608056939449419_DA.039.png">，所以，于是．

所以，即二面角的正切值為． （12分）

考點(diǎn)：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用．