Question

18．在如圖所示的四邊形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2$\sqrt{3}$，設(shè)∠ACB=θ，點(diǎn)C到AD的距離為h．
（1）當(dāng)θ=15°，求h的值；
（2）求AB+BC的最大值．

Answer 1

分析 （1）由θ=15°，可得∠BAC=45°．由AB⊥AD，可得∠D=75°，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E點(diǎn)．在△ACD中，由正弦定理可得：AC．即可得出h=ACsin45°．
（2）在△ABC中，可得∠BAC，于是可得∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．可得∠D=90°-θ．在△ACD中，由正弦定理可得：AC=4cosθ．在△ABC中，由正弦定理可得：AB，BC，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵θ=15°，∴∠BAC=180°-120°-15°=45°，
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°-60°-45°=75°，
如圖所示，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E點(diǎn)．
在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{AC}{sin7{5}^{°}}$，∴AC=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
∴h=ACsin45°=$\sqrt{3}$+1．
（2）在△ABC中，∠BAC=60°-θ，∴∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．
∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°-60°-（30°+θ）=90°-θ．
在△ACD中，由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{AC}{sin（9{0}^{°}-θ）}$，解得AC=4cosθ．
在△ABC中，由正弦定理可得：$\frac{AC}{sin12{0}^{°}}=\frac{AB}{sinθ}=\frac{BC}{sin（6{0}^{°}-θ）}$，
∴AB=$\frac{ACsinθ}{sin12{0}^{°}}$=$\frac{4\sqrt{3}sin2θ}{3}$，BC=2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ-6{0}^{°}）$．
∴AB+BC=$\frac{4\sqrt{3}sin2θ}{3}$+2-$\frac{4\sqrt{3}}{3}sin（2θ-6{0}^{°}）$
=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+60°）+2≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2，
∵θ∈（0°，60°），∴（2θ+60°）∈（60°，180°），
∴當(dāng)2θ+60°=90°，即θ=15°時(shí)，AB+BC取最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2．

點(diǎn)評 本題考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)的單調(diào)性、倍角公式、誘導(dǎo)公式、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．