Question

（本小題滿分14分）

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量（），，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．

（1）求軌跡的方程,并說(shuō)明該方程表示的曲線的形狀；

(2)當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)(０，１)，作軌跡T的兩條互相垂直的弦、，設(shè)、 的中點(diǎn)分別為、，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）

當(dāng)時(shí)，方程為表示拋物線；

當(dāng)時(shí)，方程表示以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓；

當(dāng)且時(shí)，方程表示橢圓；

了 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.

(2)直線恒過(guò)定點(diǎn)．

【解析】(1)由得到關(guān)于x,y的方程.然后再根據(jù)k的取值情況討論曲線的形狀.

(2)根據(jù)（1）可知軌跡T的方程為,設(shè)，，直線AB的方程為,它與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出MN的斜率，從而可寫(xiě)出MN的直線方程，然后再研究方程得出定點(diǎn)坐標(biāo).

（1）∵  ∴

得------------------------------2分

當(dāng)時(shí)，方程為表示拋物線；-----------------------3分

當(dāng)時(shí)，方程表示以（0，2）為圓心，以2為半徑的圓；----------------4分

當(dāng)且時(shí)，方程表示橢圓；---------------------------------5分

了 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.-- --------------6分

(2) 當(dāng)時(shí)，軌跡T的方程為.

設(shè)，

直線AB的方程為，聯(lián)立有：

∴，

∴點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為．              （8分）

同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．  （10分）

直線的斜率為，

其方程為，整理得，

顯然，不論為何值，點(diǎn)均滿足方程，

∴直線恒過(guò)定點(diǎn)．                                 （14分）