Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)Pn在x軸上，其橫坐標(biāo)為xn ， 且{xn} 是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，記∠PnAPn+1=θn ， n∈N* ．

（1）若 ，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8 ），求θn的最大值及相應(yīng)n的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A（0，t）（t＞0），根據(jù)題意，xn=2n﹣1．

由 ，知 ，

而tanθ3=tan（∠OAP4﹣∠OAP3）= = ，

所以 ，解得t=4或t=8．

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4）或（0，8）．

（2）解：由題意，點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為（2n﹣1，0），tan∠OAPn= ．

∴tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn）= = ．

因?yàn)? ≥ ，所以tanθn≤ = ，

當(dāng)且僅當(dāng) ，即n=4時(shí)等號(hào)成立．

∵0＜θn＜ ，y=tanx在（0， ）上為增函數(shù)，

∴當(dāng)n=4時(shí)，θn最大，其最大值為 ．

【解析】（1）利用{xn} 是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列，確定通項(xiàng)，利用差角的正切公式，建立方程，即可求得A的坐標(biāo)；（2）表示出tanθn=tan（∠OAPn+1﹣∠OAPn），利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的基本不等式和兩角和與差的正切公式，需要了解基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：；兩角和與差的正切公式：才能得出正確答案．