Question

【題目】已知橢圓： 的左焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓： 于、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，連結(jié)并延長交橢圓于，求證： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）連接，由題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出，在 中， ，由此能求出橢圓的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）得橢圓，設(shè)直線的方程為，并代入得： ，利用根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式推導(dǎo)出當(dāng)，或，或時(shí)，直線過橢圓的頂點(diǎn)．（Ⅲ）法一：由橢圓的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，過點(diǎn)且與垂直的直線方程為，由此能夠證明．法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為，設(shè)，則，故，由此能夠證明．

試題解析：

解：（Ⅰ）連接為原點(diǎn)， 為右焦點(diǎn)），由題意知：橢圓的右焦點(diǎn)為

因?yàn)?/span>是的中位線，且，所以

所以，故

在中，

即，又，解得

所求橢圓的方程為．---------6分

(Ⅱ)法一：由（Ⅰ）得橢圓的方程為

根據(jù)題意可設(shè)，則

則直線的方程為…①

過點(diǎn)且與垂直的直線方程為…②

①②并整理得：

又在橢圓上，所以

所以

即①、②兩直線的交點(diǎn)在橢圓上，所以．

法二：由（Ⅰ）得橢圓的方程為

根據(jù)題意可設(shè)，則， ，

所以直線

，化簡得

所以

因?yàn)?/span>，所以，則

所以，則，即.