Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²+（x-1）|x-a|
（1）若a=0，解不等式f（x）＜0；
（2）若不等式f（x）≥2x-3對一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用絕對值的定義，去絕對值可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2{x}^{2}-x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{x}^{2}-{x}^{2}+x＜0}\end{array}\right.$，解不等式即可得到所求解集；
（2）把不等式f（x）≥2x-3對一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=f（x）-（2x-3）≥0對一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立．然后對a進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性求得a的范圍，取并集后得答案．

解答 解：（1）f（x）＜0即為x²+（x-1）|x|＜0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{2{x}^{2}-x＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{x}^{2}-{x}^{2}+x＜0}\end{array}\right.$，
即為x＜0或0＜x＜$\frac{1}{2}$，
則解集為{x|x＜$\frac{1}{2}$且x≠0}；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-（2x-3），
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（a+3）x+a+3，x≥a}\\{（a-1）x-a+3，x＜a}\end{array}\right.$，
不等式f（x）≥2x-3對一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立，
等價(jià)于不等式g（x）≥0對一切實(shí)數(shù)x∈R恒成立．
①若a＞1，則1-a＜0，即$\frac{2}{1-a}$＜0，取x₀=$\frac{2}{1-a}$，
此時x₀∈（-∞，a），g（x₀）=g（$\frac{2}{1-a}$）=（a-1）•$\frac{2}{1-a}$-a+3=1-a＜0，
即對任意的a＞1，總能找到x₀=$\frac{2}{1-a}$，使得g（x₀）＜0，
∴不存在a＞1，使得g（x）≥0恒成立． 
②若a=1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-4x+4，x≥1}\\{2，x＜1}\end{array}\right.$，g（x）值域?yàn)閇2，+∞），
∴g（x）≥0恒成立．
③若a＜1，
當(dāng)x∈（-∞，a）時，g（x）單調(diào)遞減，其值域?yàn)椋╝²-2a+3，+∞），
由于a²-2a+3=（a-1）²+2≥2，
∴g（x）≥0成立．
當(dāng)x∈[a，+∞）時，由a＜1，知a＜$\frac{a+3}{4}$，
g（x）在x=$\frac{a+3}{4}$處取最小值，
令g（$\frac{a+3}{4}$）=a+3-$\frac{（a+3）^{2}}{8}$≥0，得-3≤a≤5，
又a＜1，∴-3≤a＜1．
綜上，a∈[-3，1]．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了分離變量法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，屬難度較大的題目．