Question

已知f（x）=
（1）求出它的定義域和值域；
（2）判斷它的奇偶性、周期性和單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）∵，∴（sinx-1）（sinx+1）＜0，可得-1＜sinx＜1
∴函數(shù)f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠+kπ，k∈Z}
∵t=，y=∈R
∴f（x）=的值域為R；
（2）∵=
而-==
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）是其定義域上的奇函數(shù)；
∵==f（x）
∴f（x）是周期為2π的周期函數(shù)；
∵t==，t隨著sinx的增大而減小，且∈（0，1）
∴隨著sinx的增大而增大
由此可得在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)，sinx的增區(qū)間就是f（x）的增區(qū)間，sinx的減區(qū)間就是f（x）的減區(qū)間．
因此，函數(shù)的增區(qū)間為（-+2kπ，+2kπ），減區(qū)間為（+2kπ，+2kπ），其中k∈Z．
分析：（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，解關(guān)于x的不等式得-1＜sinx＜1，從而得到函數(shù)f（x）的定義域；再由對數(shù)函數(shù)的值域結(jié)合真數(shù)的取值范圍，即可得到函數(shù)f（x）的值域；
（2）根據(jù)對數(shù)的運算法則和正弦函數(shù)奇偶性，利用函數(shù)奇偶性定義可得f（x）是奇函數(shù)；利用正弦函數(shù)的周期，可得f（x）是周期為2π的周期函數(shù)；最后用分離常數(shù)的方法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判別法則可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題給出含有sinx的分式作為真數(shù)的對數(shù)型函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期等問題．著重考查了基本初等函數(shù)的常見性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則等知識，屬于中檔題．