Question

在矩形ABCD中，|AB|=2

3

，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓Ω：

x2

3

+y²=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為

2

3

，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；并求△GMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用已知可得直線GR′，ER的方程，利用即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入滿足橢圓Ω的方程即可；
（II）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN的方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與橢圓的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用k_GM•k_GN=

2

3

．即可得出b的值，從而證明直線過(guò)定點(diǎn)，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到三角形的面積計(jì)算公式，通過(guò)換元利用基本不等式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）∵

|OR|

|OF|

=

|CR′|

|CF|

=

1

n

，∴R(

3

n

，0)，R′(

3

，1-

1

n

)．
又n＞0，則直線GR'的方程為y=-

1

3 n

x+1①
又E（0，-1）則直線ER的方程為y=

n

3

x-1②
由①②得P(

2 3 n

n2+1

，

n2-1

n2+1

)
∵|OP|²=

( 2 3 n n2+1 )2

3

+(

n2-1

n2+1

)2=

4n2+(n2-1)2

(n2+1)2

=1
∴直線MN與MN的交點(diǎn)MN在橢圓Ω：

x2

3

+y2=1上．        
（Ⅱ）①當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，設(shè)MN：x=t(-

3

＜t＜

3

)．
不妨取M(t，

1- t2 3

)，N(t，-

1- t2 3

)，∴kGM•kGN=

1

3

，不合題意．
②當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN的方程為y=kx+b，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立方程

y=kx+b x2 3 +y2=1

  得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-3=0
則△=12（3k²-b²+1）＞0，
∴x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1•x2=

3b 2-3

1+3k2

．
又k_GM•k_GN=

y1-1

x1

•

y2-1

x2

=

k2x1x2+k(b-1)(x1+x2)+(b-1)2

x1x2

=

2

3

．
即(3k2-2)x1x2+3k(b-1)(x1+x2)+3(b-1)2=0
將x1+x2=

-6kb

1+3k2

，x1•x2=

3b 2-3

1+3k2

代入上式得b²+2b-3=0
解得b=-3或b=1（舍）
∴直線過(guò)定點(diǎn)（0，3）．
∵|MN|=

1+k2

|x1-x2|，點(diǎn)G到直線MN的距離為d=

4

1+k2

∴S△GMN=

1

2

|MN|•d=2|x1-x2|=2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

3

•

3k2-8

1+3k2

由b=-3及△＞0知：3k²-8＞0，令

3k2-8

=t＞0 即3k²=t²+8．
∴

3k2-8

1+3k2

=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

≤

1

6

 當(dāng)且僅當(dāng)t=3時(shí)，
S_△GMN=

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．