Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜測(cè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由a_n+1=

1

2-an

，可求a₂，a₃，a₄；
（2）猜測(cè)a_n=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

（n∈N^*），再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）由a_n+1=

1

2-an

，可得a₂=

1

2-a1

=

1

2-a

，a₃=

1

2-a2

=

1

2- 1 2-a

=

2-a

3-2a

，
a₄=

1

2-a3

=

1

2- 2-a 3-2a

=

3-2a

4-3a

．
（2）猜測(cè)a_n=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

（n∈N^*）．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a₁=a，
右邊=

(1-1)-(1-2)a

1-(1-1)a

=a，猜測(cè)成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)猜測(cè)成立，
即a_k=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- (k-1)-(k-2)a k-(k-1)a

=

k(k-1)a

2[k-(k-1)a]-[(k-1)-(k-2)a]

=

k-(k-1)a

(k+1)-ka

．
故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜測(cè)也成立．
由①，②可知，對(duì)任意n∈N^*都有a_n=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法是關(guān)鍵，屬于中檔題．