Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n滿足log_a（S_n+a）=n+1（a＞0且a≠1），且數(shù)列{a_n}是一個公比是$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由log_a（S_n+a）=n+1（a＞0且a≠1），可得S_n+a=aⁿ⁺¹，利用遞推關(guān)系可得：a₁，a₂．根據(jù)數(shù)列{a_n}是一個公比是$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，可得${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}$，解出即可．

解答 解：由log_a（S_n+a）=n+1（a＞0且a≠1），
可得S_n+a=aⁿ⁺¹，
∴a₁=a²-a，a₁+a₂+a=a³，
解得a₂=a³-a²，
∵數(shù)列{a_n}是一個公比是$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
∴${a}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{1}$，即a³-a²=$\frac{1}{2}$（a²-a），
解得a=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．