Question

數列{a_n}中，數列{a_n•a_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列．
（Ⅰ）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的q的取值范圍；
（Ⅱ）求數列{a_n}的前2n項的和S_2n．

Answer 1

分析：（ I）由題意可知，a_n+1a_n+2=a_na_n+1q，a_n+2a_n+3=a_na_n+1q²，結合已知a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，代入等比數列的通項，可求q的范圍
（ II）由數列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數列，得，

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，則數列{a_n}的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是q，結合等比數列的求和公式，需要對q=1和q≠1兩種情況討論，分別利用分組求和可求

解答：解：（ I）∵數列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數列，
∴a_n+1a_n+2=a_na_n+1q，a_n+2a_n+3=a_na_n+1q²，
由a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3得a_na_n+1+a_na_n+1q＞a_na_n+1q²
∴1+q＞q²，即q²-q-1＜0（q＞0），
解得0＜q＜

1+ 5

2

．（4分）
（ II）由數列{a_n•a_n+1}是公比為q的等比數列，得

an+1an+2

anan+1

=q⇒

an+2

an

=q，
這表明數列{a_n}的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是q，（8分）
又a₁=1，a₂=2，
∴當q≠1時，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=

a1(1-qn)

1-q

+

a2(1-qn)

1-q

=

3(1-qn)

1-q

，（10分）
當q=1時，S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=（1+1+1+…+1）+（2+2+2+…+2）=3n…（12分）

點評：本題主要考查了等比數列的通項公式及求和公式的應用及分組求和方法的應用，而利用等比數列的求和公式進行求解時，一定要注意對公比q是否為1的考慮