Question

13．已知兩函數(shù)$f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），g（x）=\sqrt{3}（x-b）（x-c）$，a＜b＜c，f′（a）=f′（c）
（1）求證：三數(shù)a、b、c成等差數(shù)列；
（2）$F（x）=\left\{{\begin{array}{l}{f（x），x≤b}\\{g（x），x＞b}\end{array}}\right.$假設(shè)對(duì)一切實(shí)數(shù)x，F(xiàn)（x）≤f（x）恒成立，函數(shù)F（x）取極大值和極小值時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M和N，
①求直線MN的斜率；
②記函數(shù)G（x）=f（x）-g（x），如果滿足集合{y|y=G（x），b≤x≤c}={y|y=G（x），b≤x≤0}的最大實(shí)數(shù)b的值是B，求實(shí)數(shù)B．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)f′（a）=f′（c），化簡(jiǎn)整理可得a+c=2b，繼而可以證明，
（2）①根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，求出M，N的坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式計(jì)算即可，
②先求導(dǎo)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系，分類討論求出即可．

解答 解：（1）證明：f（x）=x³-（a+b+c）x²+（ab+bc+ac）x-abc，
∵f′（a）=f′（c），f′（x）=3x²-2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
∴3a²-2（a+b+c）a+（ab+bc+ac）=3c²-2（a+b+c）c+（ab+bc+ac），
∴a²-c²=2b（a-c），
又∵a≠c，
∴a+c=2b
∴三數(shù)a、b、c成等差數(shù)列；                       
（2）①當(dāng)x≤b時(shí)，顯然成立
當(dāng)x＞b時(shí)，$f（x）-F（x）=（x-\sqrt{3}-a）（x-b）（x-c）≥0$，
∴$（x-\sqrt{3}-a）（x-c）≥0$
若$a+\sqrt{3}＜c$，則取x＞b且$x∈（a+\sqrt{3}，c）$，則左邊＜0，矛盾
若$a+\sqrt{3}＞c$，同理，不成立，
∴$a+\sqrt{3}=c$，
又a+c=2b，所以$\left\{{\begin{array}{l}{a=b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{c=b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\end{array}}\right.$，$f（x）={x^3}-3b{x^2}+（3{b^2}-\frac{3}{4}）x-{b^3}+\frac{3}{4}b$
由${f^'}（x）=3{x^2}-6bx+（3{b^2}-\frac{3}{4}）=0$得${x_1}=b-\frac{1}{2}，{x_2}=b+\frac{1}{2}$，列表

x	$（-∞，b-\frac{1}{2}）$	$b-\frac{1}{2}$	$（b-\frac{1}{2}，b+\frac{1}{2}）$	$b+\frac{1}{2}$	$（b+\frac{1}{2}，+∞）$
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

同理g（x）在上$（-∞，b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$單調(diào)遞減，在$（b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}，+∞）$單調(diào)遞增，
∴F（x）在$（-∞，b-\frac{1}{2}）$上單調(diào)遞增，在$（b-\frac{1}{2}，b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$上單調(diào)遞減，
在$（b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}，+∞）$單調(diào)遞增                                         
∴$M（b-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}），N（b+\frac{{\sqrt{3}}}{4}，-\frac{{3\sqrt{3}}}{16}）$，
∴$k=-\frac{{2\sqrt{3}-1}}{4}$
②$G（x）=（x-\sqrt{3}-a）（x-b）（x-c）=（x-b）{（x-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}$，
∴${G^'}（x）={（x-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}+2（x-b）（x-b-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）=0$，得$x=b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}，x=b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
與①同理G（x）在$（-∞，b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}）$上單調(diào)遞增，在$（b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}，b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$上單調(diào)遞減，
∴在[b，c]上，$G（x）∈[{0，G（b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}）}]=[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{18}}]$，
若$b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}＞0$，則在[b，0]上恒單調(diào)遞增，且[b，0]是$[{b，b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}}]$的真子集，
∴$G（0）＜G（b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}）$，從而G（x）取不到$\frac{{\sqrt{3}}}{18}$，矛盾
則$b+\frac{{\sqrt{3}}}{6}≤0$，即$b≤-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
當(dāng)$b=-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$時(shí)，$G（x）∈[{0，\frac{{\sqrt{3}}}{18}}]$，成立
當(dāng)$b+\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤0$時(shí)，$b≤-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，不必考慮
∴$B=-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于難題．