Question

17．設(shè)M是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上的一點，P，Q，T分別為M關(guān)于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上異于M的另一點，且MN⊥MQ，QN與PT的交點為E，當M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)相應點的坐標，由點在橢圓和和點差法可表示直線的斜率，進而可得直線QN和直線PT的方程，兩方程聯(lián)立可得x₁=2x，y₁=-2y，代入橢圓方程化簡即可得到要求的方程．

解答 解：設(shè)點的坐標M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），（x₁y₁≠0），E（x，y），
由對稱性可知P（-x₁，y₁），Q（-x₁，-y₁），T（x₁，-y₁），
由點M、N在橢圓上可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{12}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
兩式相減整理可得$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=-$\frac{1}{3}$
結(jié)合斜率公式可得k_MN•k_QN=-$\frac{1}{3}$，
又MN⊥MQ，∴k_MN•k_MQ=-1，
∴k_MN=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，k_QN=$\frac{{y}_{1}}{3{x}_{1}}$，
∴直線QN的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{3{x}_{1}}$（x+x₁）-y₁，
直線PT的方程為y=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$x，
聯(lián)合解得x₁=2x，y₁=-2y，
代入橢圓方程化簡可得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1（xy≠0），
∴動點E的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1

點評 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及軌跡方程的求解和代入消參數(shù)的方法，屬難題．