Question

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對于任意的，都有.

（1）求，；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）令問是否存在正數(shù)m，使得對一切正整數(shù)n都成立?若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）分別代入和，結(jié)合解方程可求得結(jié)果；

（2）利用得，兩式作差整理可得，從而證得數(shù)列為等差數(shù)列，由此可求得通項(xiàng)公式；

（3）由（2）可求得，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，通過求解不等式右側(cè)數(shù)列的單調(diào)性，可求得時取最小值，由此可得的取值范圍.

（1）當(dāng)時，，又，；

當(dāng)時，，即，解得：.

（2）由得：，

，

則，，

兩式作差得：，，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，.

（3）由（2）知：，，

，，

假設(shè)存在整數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立，

設(shè)，，

則，

為遞增數(shù)列，，

由恒成立知：，

存在正實(shí)數(shù)，使得對一切正整數(shù)都成立.