Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin${\;}^{2}\frac{x}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-π，0]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用二倍角公式和兩角和的正弦公式，化簡f（x），再由正弦函數(shù)的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范圍，可得x+$\frac{π}{4}$的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得最小值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{2}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-$\sqrt{2}$sin${\;}^{2}\frac{x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cosx）
=sinxcos$\frac{π}{4}$+cosxsin$\frac{π}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=sin（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則f（x）的最小正周期為2π；
（Ⅱ）由-π≤x≤0，可得
-$\frac{3π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{4}$，
即有-1$≤sin（x+\frac{π}{4}）≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則當x=-$\frac{3π}{4}$時，sin（x+$\frac{π}{4}$）取得最小值-1，
則有f（x）在區(qū)間[-π，0]上的最小值為-1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查二倍角公式和兩角和的正弦公式，同時考查正弦函數(shù)的周期和值域，考查運算能力，屬于中檔題．