Question

（本小題滿分12分）

已知點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點(diǎn)的軌跡為曲線，過定點(diǎn)任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點(diǎn)。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）見解析.

【解析】（Ⅰ）利用相關(guān)點(diǎn)法把所求點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化已知動點(diǎn)問題，從而得到曲線的軌跡方程；（Ⅱ）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理及條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)。

解：（1）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個公共點(diǎn)．（也可根據(jù)點(diǎn)M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別, ，則，               

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得總能被軸平分．