Question

O為坐標(biāo)原點(diǎn), 和兩點(diǎn)分別在射線 上移動(dòng),且,動(dòng)點(diǎn)P滿足,

記點(diǎn)P的軌跡為C.

(I)求的值;

(II)求P點(diǎn)的軌跡C的方程,并說(shuō)明它表示怎樣的曲線?

(III)設(shè)點(diǎn)G(－1,0),若直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn),且M、N兩點(diǎn)都在以G為圓心的圓上,求的取值范圍.

Answer 1

(I)    

(II) 軌跡C的方程為,它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.

 (III)

解析:

(I) ∵,分別在射線上,

即,

又∵      .

,      .

(II) 設(shè)由可得

即

兩式相減有: .

∵、不同時(shí)為0,   

軌跡C的方程為,它表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.

(III)

消去,整理得: .

∵直線與曲線C交于M、N兩點(diǎn),

設(shè)

即

由(1)整理得:

由(3)有:

由(2)有.

又∵M(jìn)、N在以點(diǎn)G為圓心的圓上,

設(shè)MN的中點(diǎn)為Q,則

∵,

∵       

又∵

.

整理得

把(6)代入(4)中有:

由

又由(6)有

∵

于是

解得

再由.

綜合得的取值范圍為