Question

（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)F₁(0，－2)，且離心率e滿足：，e，成等比數(shù)列．

(1)求橢圓方程；

(2)是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x＝－

平分．若存在，求出l的傾斜角的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解:（1）依題意e＝．

又F₁(0，－2)， c＝2，a＝3，b＝1，∴所求方程為x²＋y²＝1

(2)假設(shè)存在直線l，依題意l交橢圓所得弦MN被x＝－平分，∴直線l的斜率

存在．設(shè)直線l：y＝kx＋m

由 消去y，整理得

(k²＋9)x²＋2kmx＋m²－9＝0

∵l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M，N，

∴Δ＝4k²m²－4(k²＋9)(m²－9)＞0

即m²－k²－9＜0                  ①

設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)

∴，

∴m＝                ②

把②代入①式中得

－(k²＋9)＜0

∴k＞或k＜－

∴直線l傾斜角α∈(，)∪(，)

 

【解析】略