Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左右兩焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為右支上一點，PF₂⊥F₁F₂，OH₂⊥PF₁于H，OH=λOF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求雙曲線的離心率e的取值范圍；
（2）當e取得最大值時，過F₁，F(xiàn)₂，P的圓截y軸的線段長為4，求該圓方程．

Answer 1

分析：（1）用λ表示離心率的平方，據(jù)λ的范圍求出離心率平方得最值，可得離心率的范圍，
（2）確定圓心位置及直徑，進而得到半徑，寫出圓的標準方程．

解答：解：（1）由題意 e2=

c2

a2

=1+

b2

a2

=1+

2λ

1-λ

=1+

2[1-(1-λ)]

1-λ

=

2

1-λ

-1=-1-

2

λ-1

，在 [

1

3

，

1

2

]上單調(diào)遞增函數(shù)．
∴λ=

1

2

時，e²最大3，λ=

1

3

時，e²最小 2，
∴2≤e²≤3，∴

2

≤e≤

3

．
（2）當 e=

3

時，

c

a

=

3

，∴c=

3

a，∴b²=2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圓的直徑，圓心是PF₁的中點，
∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴PF₁=4．
又 PF1=2a+

b2

a

=2a+

2a2

a

=4a，∴4a=4，a=1，c=

3

，b=

2

．
∴PF2=

b2

a

=2a=2，圓心C（0，1），半徑為2，x²+（y-1）²=4．

點評：本題的考點是圓與圓錐曲線的綜合，主要考查圓的標準方程、雙曲線的性質(zhì)、直線和圓錐曲線的關(guān)系． 關(guān)鍵是用λ表示離心率的平方，進而得解．